1. Datos y conceptos:

• Curva: $x^2 + 4xy + 16y^2 = 27$
• Tangente horizontal: Ocurre cuando la derivada $\frac{dy}{dx} = 0$.
• Tangente vertical: Ocurre cuando el denominador de la derivada es cero (pendiente infinita), es decir, $\frac{dx}{dy} = 0$.

2. Derivación implícita:
Derivamos ambos lados respecto a $x$:
$$ \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4xy) + \frac{d}{dx}(16y^2) = \frac{d}{dx}(27) $$
$$ 2x + 4\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + 32y\frac{dy}{dx} = 0 $$
Agrupamos los términos con $\frac{dy}{dx}$:
$$ \begin{aligned} 2x + 4y + 4x\frac{dy}{dx} + 32y\frac{dy}{dx} &= 0 \\ (4x + 32y)\frac{dy}{dx} &= -(2x + 4y) \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{2x + 4y}{4x + 32y} = -\frac{x + 2y}{2x + 16y} \end{aligned} $$

3. Tangentes horizontales ($\frac{dy}{dx} = 0$):
Esto ocurre cuando el numerador es cero: $x + 2y = 0 \implies x = -2y$.
Sustituimos en la ecuación original:
$$ (-2y)^2 + 4(-2y)y + 16y^2 = 27 \implies 4y^2 - 8y^2 + 16y^2 = 27 \implies 12y^2 = 27 $$
$$ y^2 = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \implies y = \pm \frac{3}{2} $$
Si $y = \frac{3}{2}$, $x = -2(3/2) = -3$. Si $y = -\frac{3}{2}$, $x = -2(-3/2) = 3$.

4. Tangentes verticales ($\frac{dx}{dy} = 0$):
Ocurre cuando el denominador es cero: $2x + 16y = 0 \implies x = -8y$.
Sustituimos en la ecuación original:
$$ (-8y)^2 + 4(-8y)y + 16y^2 = 27 \implies 64y^2 - 32y^2 + 16y^2 = 27 \implies 48y^2 = 27 $$
$$ y^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} \implies y = \pm \frac{3}{4} $$
Si $y = \frac{3}{4}$, $x = -8(3/4) = -6$. Si $y = -\frac{3}{4}$, $x = -8(-3/4) = 6$.

$$ \boxed{\text{Horiz: } (3, -3/2), (-3, 3/2); \text{ Vert: } (6, -3/4), (-6, 3/4)} $$