Parte (a): $x + xy + y = 2$
1. Derivamos una vez respecto a $x$:
$$ 1 + (1 \cdot y + x \cdot y') + y' = 0 \implies y'(x+1) = -1-y \implies y' = -\frac{1+y}{1+x} $$
2. Derivamos nuevamente para hallar $y''$ usando la regla del cociente:
$$ y'' = -\frac{y'(1+x) - (1+y)(1)}{(1+x)^2} $$
Sustituyendo $y'$:
$$ y'' = -\frac{\left(-\frac{1+y}{1+x}\right)(1+x) - (1+y)}{(1+x)^2} = -\frac{-(1+y) - (1+y)}{(1+x)^2} = \frac{2(1+y)}{(1+x)^2} $$

Parte (b): $x^3 - 3xy + y^3 = 1$
1. Primera derivada:
$$ 3x^2 - 3(y + xy') + 3y^2 y' = 0 \implies x^2 - y - xy' + y^2 y' = 0 $$
$$ y'(y^2 - x) = y - x^2 \implies y' = \frac{y-x^2}{y^2-x} $$
2. Segunda derivada (simplificación algebraica extensa):
Derivando implícitamente la expresión $x^2 - y + y'(y^2 - x) = 0$:
$$ 2x - y' + y''(y^2 - x) + y'(2yy' - 1) = 0 $$
Sustituyendo $y'$ y despejando $y''$, se llega a la forma simplificada:
$$ y'' = -\frac{4xy}{(y^2-x)^3} $$

Resultado Final:
$$ \boxed{\text{(a) } y'' = \frac{2(1+y)}{(1+x)^2}; \quad \text{(b) } y'' = -\frac{4xy}{(y^2-x)^3}} $$