1. Datos del problema:

• Función: $y = \frac{2x - 1}{x + 2}$

2. Fórmulas:

• Derivada de un cociente: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

3. Desarrollo paso a paso:

Paso A: Hallar la función inversa $x = f^{-1}(y)$
Despejamos $x$ de la ecuación:
$$ y(x + 2) = 2x - 1 $$
$$ xy + 2y = 2x - 1 $$
Agrupamos los términos con $x$:
$$ xy - 2x = -2y - 1 $$
$$ x(y - 2) = -(2y + 1) $$
$$ x = -\frac{2y + 1}{y - 2} $$

Paso B: Calcular la derivada $\frac{dx}{dy}$
Derivamos $x$ respecto a $y$ usando la regla del cociente:
Sea $u = -(2y + 1) \implies u' = -2$ y $v = y - 2 \implies v' = 1$.
$$ \frac{dx}{dy} = \frac{(-2)(y - 2) - (-(2y + 1))(1)}{(y - 2)^2} $$
Simplificamos el numerador:
$$ \begin{aligned} \text{Num} &= -2y + 4 + 2y + 1 \\ \text{Num} &= 5 \end{aligned} $$
Por lo tanto:
$$ \frac{dx}{dy} = \frac{5}{(y - 2)^2} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = f^{-1}(y) = -\frac{2y + 1}{y - 2}; \quad \frac{dx}{dy} = \frac{5}{(y - 2)^2}} $$