Iv
CAL1 • Derivacion
CALC_DER_222
Cálculo de Stewart
Enunciado
Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, demuestre que:
(a) $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2$
(b) $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^3u}{dx^3} + 3 \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3$
(a) $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2$
(b) $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^3u}{dx^3} + 3 \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3$
Solución Paso a Paso
1. Datos y fórmulas:
Se tiene una función compuesta $y = f(g(x))$. Utilizaremos la Regla de la Cadena para la primera derivada:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
2. Desarrollo parte (a):
Para hallar la segunda derivada, derivamos la expresión anterior respecto a $x$ utilizando la regla del producto:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \right] = \left[ \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{du} \right) \right] \cdot \frac{du}{dx} + \frac{dy}{du} \cdot \left[ \frac{d}{dx} \left( \frac{du}{dx} \right) \right] $$
Aplicamos nuevamente la regla de la cadena para $\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{du} \right)$:
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{du} \right) = \frac{d}{du} \left( \frac{dy}{du} \right) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{du}{dx} $$
Sustituyendo:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \left( \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{du}{dx} \right) \cdot \frac{du}{dx} + \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} $$
$$ \boxed{\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2} $$
3. Desarrollo parte (b):
Derivamos la expresión obtenida en (a) respecto a $x$:
$$ \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} \right] + \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2 \right] $$
Desglosando el primer término:
$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} \right] = \left( \frac{d^2y}{du^2} \frac{du}{dx} \right) \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3u}{dx^3} $$
Desglosando el segundo término:
$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2 \right] = \left( \frac{d^3y}{du^3} \frac{du}{dx} \right) \left( \frac{du}{dx} \right)^2 + \frac{d^2y}{du^2} \left( 2 \frac{du}{dx} \frac{d^2u}{dx^2} \right) $$
Sumando y agrupando términos semejantes:
$$ \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \frac{d^3u}{dx^3} + \left( \frac{d^2y}{du^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2u}{dx^2} + 2 \frac{d^2y}{du^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2u}{dx^2} \right) + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3 $$
$$ \boxed{\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \frac{d^3u}{dx^3} + 3 \frac{d^2y}{du^2} \frac{d^2u}{dx^2} \frac{du}{dx} + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3} $$
Se tiene una función compuesta $y = f(g(x))$. Utilizaremos la Regla de la Cadena para la primera derivada:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
2. Desarrollo parte (a):
Para hallar la segunda derivada, derivamos la expresión anterior respecto a $x$ utilizando la regla del producto:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \right] = \left[ \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{du} \right) \right] \cdot \frac{du}{dx} + \frac{dy}{du} \cdot \left[ \frac{d}{dx} \left( \frac{du}{dx} \right) \right] $$
Aplicamos nuevamente la regla de la cadena para $\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{du} \right)$:
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{du} \right) = \frac{d}{du} \left( \frac{dy}{du} \right) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{du}{dx} $$
Sustituyendo:
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \left( \frac{d^2y}{du^2} \cdot \frac{du}{dx} \right) \cdot \frac{du}{dx} + \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} $$
$$ \boxed{\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2} $$
3. Desarrollo parte (b):
Derivamos la expresión obtenida en (a) respecto a $x$:
$$ \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} \right] + \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2 \right] $$
Desglosando el primer término:
$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{dy}{du} \frac{d^2u}{dx^2} \right] = \left( \frac{d^2y}{du^2} \frac{du}{dx} \right) \frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dy}{du} \frac{d^3u}{dx^3} $$
Desglosando el segundo término:
$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^2y}{du^2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2 \right] = \left( \frac{d^3y}{du^3} \frac{du}{dx} \right) \left( \frac{du}{dx} \right)^2 + \frac{d^2y}{du^2} \left( 2 \frac{du}{dx} \frac{d^2u}{dx^2} \right) $$
Sumando y agrupando términos semejantes:
$$ \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \frac{d^3u}{dx^3} + \left( \frac{d^2y}{du^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2u}{dx^2} + 2 \frac{d^2y}{du^2} \frac{du}{dx} \frac{d^2u}{dx^2} \right) + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3 $$
$$ \boxed{\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{dy}{du} \frac{d^3u}{dx^3} + 3 \frac{d^2y}{du^2} \frac{d^2u}{dx^2} \frac{du}{dx} + \frac{d^3y}{du^3} \left( \frac{du}{dx} \right)^3} $$