1. Datos y fórmulas:
Usamos la regla de la cadena: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.
Para $dy/du$, usamos la regla del cociente: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.

2. Desarrollo:
Calculamos $\frac{dy}{du}$:
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{du} &= \frac{(1)(u + 1) - (u - 1)(1)}{(u + 1)^2} \\ \frac{dy}{du} &= \frac{u + 1 - u + 1}{(u + 1)^2} = \frac{2}{(u + 1)^2} \end{aligned} $$
Calculamos $\frac{du}{dx}$ para $u = x^{1/2}$:
$$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

3. Combinación:
$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(u + 1)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{x}(u + 1)^2} \end{aligned} $$
Sustituyendo $u = \sqrt{x}$:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}} $$