Aplicamos la regla del cociente para la función $s(t)$.

1. Fórmula:
$$ \frac{ds}{dt} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

2. Desarrollo:
Numerador: $u = t^2 + 2 \Rightarrow u' = 2t$
Denominador: $v = 3 - t^2 \Rightarrow v' = -2t$

Aplicando la fórmula:
$$ \frac{ds}{dt} = \frac{(2t)(3 - t^2) - (t^2 + 2)(-2t)}{(3 - t^2)^2} $$
Expandimos los términos del numerador:
$$ \frac{ds}{dt} = \frac{6t - 2t^3 + 2t^3 + 4t}{(3 - t^2)^2} $$
Simplificamos los términos semejantes ($2t^3 - 2t^3 = 0$):
$$ \frac{ds}{dt} = \frac{10t}{(3 - t^2)^2} $$

3. Resultado:
$$ \boxed{\frac{ds}{dt} = \frac{10t}{(3 - t^2)^2}} $$