Para resolver esta derivada, utilizaremos la regla de la cadena para funciones compuestas.

1. Datos y fórmulas:
La función es de la forma $y = \sqrt{u}$, donde $u = 1 + \sqrt{x}$.
La fórmula de la derivada de una raíz cuadrada es:
$$ \frac{d}{dx}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} $$

2. Desarrollo paso a paso:
Definimos la función interna:
$$ u = 1 + x^{1/2} $$
Derivamos la función interna respecto a $x$:
$$ \frac{du}{dx} = 0 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Aplicamos la regla de la cadena a la función principal:
$$ y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sqrt{x}}} \cdot \frac{du}{dx} $$
Sustituimos la derivada interna:
$$ y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sqrt{x}}} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) $$

3. Simplificación:
Multiplicamos los denominadores:
$$ y' = \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{x}}} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{y' = \frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{x}}}} $$