1. Aplicación de la regla del producto:
Sea $u = x-1 \implies u' = 1$.
Sea $v = (x^2 - 2x + 2)^{1/2} \implies v' = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 2)^{-1/2}(2x - 2)$.

Simplificamos $v'$ factorizando 2:
$$ v' = \frac{2(x - 1)}{2\sqrt{x^2 - 2x + 2}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} $$

2. Construcción de $y'$:
$$ y' = (1)\sqrt{x^2 - 2x + 2} + (x - 1) \left[ \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \right] $$
$$ y' = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + \frac{(x - 1)^2}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} $$

3. Simplificación algebraica:
Combinamos los términos:
$$ \begin{aligned} y' &= \frac{(x^2 - 2x + 2) + (x^2 - 2x + 1)}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \\ &= \frac{2x^2 - 4x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 - 4x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}}} $$