1. Datos del problema:

• $f(9) = 9$
• $f'(9) = 4$
• Límite a calcular: $L = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{f(x)} - 3}{\sqrt{x} - 3}$

2. Desarrollo paso a paso:

Evaluamos el límite directamente para verificar la forma:
$$ \frac{\sqrt{f(9)} - 3}{\sqrt{9} - 3} = \frac{\sqrt{9} - 3}{3 - 3} = \frac{0}{0} $$

Al ser una forma indeterminada $0/0$, aplicamos la Regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador de forma independiente:
$$ L = \lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)} - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x} - 3)} $$

Calculamos las derivadas:
$$ \frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} $$
$$ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Sustituimos en el límite:
$$ L = \lim_{x \to 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 9} \left( \frac{f'(x) \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{f(x)}} \right) = \lim_{x \to 9} \frac{f'(x)\sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} $$

Evaluamos con los valores proporcionados:
$$ L = \frac{f'(9)\sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4 $$

Resultado final:
$$ \boxed{L = 4} $$