I
CAL1 • Derivacion
CALC_DER_085
Práctica de Cálculo
Enunciado
En lugar de la definición habitual de derivada $Df(x)$, definimos un nuevo tipo de derivada $D^*f(x)$ mediante la fórmula:
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.
a. $e$ b. $2e$ c. $4e$ d. Ninguna de las anteriores
$$ D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x+h) - f^2(x)}{h} $$
donde $f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$. Si $f(x) = x \ln x$, halle el valor de $\left. D^*f(x) \right|_{x=e}$.
a. $e$ b. $2e$ c. $4e$ d. Ninguna de las anteriores
Solución Paso a Paso
1. Interpretación de la nueva definición:
Observemos que $D^*f(x)$ es simplemente la derivada de la función elevada al cuadrado:
$$ D^*f(x) = \frac{d}{dx} [f(x)]^2 $$
Aplicando la regla de la cadena:
$$ D^*f(x) = 2 f(x) \cdot f'(x) $$
2. Derivada de la función dada:
Tenemos $f(x) = x \ln x$. Usamos la regla del producto para hallar $f'(x)$:
$$ f'(x) = (1) \cdot \ln x + x \cdot \left( \frac{1}{x} \right) = \ln x + 1 $$
3. Evaluación en $x=e$:
Primero calculamos los valores de $f$ y $f'$ en el punto solicitado:
Sustituimos en la expresión de la "nueva derivada":
$$ D^*f(e) = 2 \cdot f(e) \cdot f'(e) = 2 \cdot (e) \cdot (2) = 4e $$
$$ \boxed{\text{Valor} = 4e} $$
Observemos que $D^*f(x)$ es simplemente la derivada de la función elevada al cuadrado:
$$ D^*f(x) = \frac{d}{dx} [f(x)]^2 $$
Aplicando la regla de la cadena:
$$ D^*f(x) = 2 f(x) \cdot f'(x) $$
2. Derivada de la función dada:
Tenemos $f(x) = x \ln x$. Usamos la regla del producto para hallar $f'(x)$:
$$ f'(x) = (1) \cdot \ln x + x \cdot \left( \frac{1}{x} \right) = \ln x + 1 $$
3. Evaluación en $x=e$:
Primero calculamos los valores de $f$ y $f'$ en el punto solicitado:
- $f(e) = e \ln e = e(1) = e$
- $f'(e) = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2$
Sustituimos en la expresión de la "nueva derivada":
$$ D^*f(e) = 2 \cdot f(e) \cdot f'(e) = 2 \cdot (e) \cdot (2) = 4e $$
$$ \boxed{\text{Valor} = 4e} $$