1. Cálculo de la primera derivada:
Derivamos la función original respecto a $x$:
$$y = ae^{mx} + be^{-mx}$$
$$\frac{dy}{dx} = a \cdot m \cdot e^{mx} + b \cdot (-m) \cdot e^{-mx}$$
$$\frac{dy}{dx} = mae^{mx} - mbe^{-mx}$$

2. Cálculo de la segunda derivada:
Derivamos nuevamente:
$$\frac{d^2y}{dx^2} = ma \cdot m \cdot e^{mx} - mb \cdot (-m) \cdot e^{-mx}$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2ae^{mx} + m^2be^{-mx}$$

3. Verificación de la ecuación diferencial:
Factorizamos $m^2$ en la expresión de la segunda derivada:
$$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2(ae^{mx} + be^{-mx})$$
Notamos que el término entre paréntesis es exactamente $y$:
$$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2y$$
Por lo tanto:
$$\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y = m^2y - m^2y = 0$$

Conclusión: El resultado final es 0, opción (c).
$$ \boxed{\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y = 0} $$