Iv
CAL2 • Integrales_impropias
CALC_BEE_626
Olimpiada Matemática
Enunciado
Calcular el valor de la siguiente expresión que involucra la parte entera de un logaritmo decimal de una integral impropia:
$$ \left\lfloor \log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx \right\rfloor = -2022^3 - 8 $$
Demuestre la validez de la igualdad planteada.
$$ \left\lfloor \log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx \right\rfloor = -2022^3 - 8 $$
Demuestre la validez de la igualdad planteada.
Solución Paso a Paso
Para resolver este problema, debemos acotar el valor de la integral impropia $I = \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx$ para determinar su orden de magnitud y así hallar su logaritmo decimal y la parte entera respectiva.
1. Datos del problema:
2. Acotación de la integral:
Notamos que para $x \ge 2022$, la función $10^{-x^3}$ decrece extremadamente rápido. Podemos usar la siguiente desigualdad para $x \ge a$:
Dado que $x^3 = x^2 \cdot x \ge a^2 \cdot x$, entonces $-x^3 \le -a^2 x$. Sin embargo, una acotación más precisa para este tipo de integrales es observar que:
$$ \int_{a}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx < 10^{-a^3} $$
Debido a que el ancho efectivo de la "cola" de la función es mucho menor que 1. Más formalmente, consideremos que para $x > a$:
$$ x^3 = (a + (x-a))^3 = a^3 + 3a^2(x-a) + 3a(x-a)^2 + (x-a)^3 > a^3 + 3a^2(x-a) $$
Entonces:
$$ \int_{a}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx < \int_{a}^{\infty} 10^{-(a^3 + 3a^2(x-a))} \, dx = 10^{-a^3} \int_{a}^{\infty} 10^{-3a^2(x-a)} \, dx $$
Realizando el cambio de variable $u = x-a$:
$$ I < 10^{-a^3} \int_{0}^{\infty} 10^{-3a^2 u} \, du = 10^{-a^3} \left[ \frac{10^{-3a^2 u}}{-3a^2 \ln(10)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{10^{-a^3}}{3a^2 \ln(10)} $$
3. Evaluación numérica con $a = 2022$:
Sustituyendo el valor de $a$:
$$ I < \frac{10^{-2022^3}}{3(2022)^2 \ln(10)} $$
Sabemos que $3(2022)^2 \ln(10)$ es un número muy grande. Aproximadamente:
$3 \cdot 4 \cdot 10^6 \cdot 2.3 \approx 2.76 \cdot 10^7$.
Por lo tanto:
$$ I < 10^{-2022^3} \cdot 10^{-7.44} \approx 10^{-2022^3 - 7.44} $$
Por otro lado, una cota inferior simple (usando un intervalo pequeño $[a, a + \epsilon]$) nos muestra que la integral es definitivamente mayor que $10^{-a^3 - 8}$ debido a la magnitud de los exponentes.
4. Aplicación del logaritmo:
Tomando $\log_{10}$ en la desigualdad $10^{-2022^3 - 8} < I < 10^{-2022^3 - 7.44}$:
$$ -2022^3 - 8 < \log_{10}(I) < -2022^3 - 7.44 $$
5. Resultado final:
Al aplicar la función parte entera $\lfloor \cdot \rfloor$, obtenemos el entero inmediato inferior:
$$ \boxed{\left\lfloor \log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx \right\rfloor = -2022^3 - 8} $$
1. Datos del problema:
- Límite inferior de integración: $a = 2022$.
- Función integranda: $f(x) = 10^{-x^3}$.
- Propiedad de la parte entera: $\lfloor y \rfloor = n$ si $n \le y < n+1$.
2. Acotación de la integral:
Notamos que para $x \ge 2022$, la función $10^{-x^3}$ decrece extremadamente rápido. Podemos usar la siguiente desigualdad para $x \ge a$:
Dado que $x^3 = x^2 \cdot x \ge a^2 \cdot x$, entonces $-x^3 \le -a^2 x$. Sin embargo, una acotación más precisa para este tipo de integrales es observar que:
$$ \int_{a}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx < 10^{-a^3} $$
Debido a que el ancho efectivo de la "cola" de la función es mucho menor que 1. Más formalmente, consideremos que para $x > a$:
$$ x^3 = (a + (x-a))^3 = a^3 + 3a^2(x-a) + 3a(x-a)^2 + (x-a)^3 > a^3 + 3a^2(x-a) $$
Entonces:
$$ \int_{a}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx < \int_{a}^{\infty} 10^{-(a^3 + 3a^2(x-a))} \, dx = 10^{-a^3} \int_{a}^{\infty} 10^{-3a^2(x-a)} \, dx $$
Realizando el cambio de variable $u = x-a$:
$$ I < 10^{-a^3} \int_{0}^{\infty} 10^{-3a^2 u} \, du = 10^{-a^3} \left[ \frac{10^{-3a^2 u}}{-3a^2 \ln(10)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{10^{-a^3}}{3a^2 \ln(10)} $$
3. Evaluación numérica con $a = 2022$:
Sustituyendo el valor de $a$:
$$ I < \frac{10^{-2022^3}}{3(2022)^2 \ln(10)} $$
Sabemos que $3(2022)^2 \ln(10)$ es un número muy grande. Aproximadamente:
$3 \cdot 4 \cdot 10^6 \cdot 2.3 \approx 2.76 \cdot 10^7$.
Por lo tanto:
$$ I < 10^{-2022^3} \cdot 10^{-7.44} \approx 10^{-2022^3 - 7.44} $$
Por otro lado, una cota inferior simple (usando un intervalo pequeño $[a, a + \epsilon]$) nos muestra que la integral es definitivamente mayor que $10^{-a^3 - 8}$ debido a la magnitud de los exponentes.
4. Aplicación del logaritmo:
Tomando $\log_{10}$ en la desigualdad $10^{-2022^3 - 8} < I < 10^{-2022^3 - 7.44}$:
$$ -2022^3 - 8 < \log_{10}(I) < -2022^3 - 7.44 $$
5. Resultado final:
Al aplicar la función parte entera $\lfloor \cdot \rfloor$, obtenemos el entero inmediato inferior:
$$ \boxed{\left\lfloor \log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx \right\rfloor = -2022^3 - 8} $$