1. Datos e identificación:
Se trata de una integral impropia de primera especie que puede resolverse mediante la técnica de integración bajo el signo de integral (regla de Leibniz) o mediante la Transformada de Laplace.
La estructura de la integral es:
$$ I = \int_{0}^{\infty} e^{-sx} \frac{\sin(ax)}{x} dx $$
Donde $s = 2$ y $a = 3$.

2. Propiedades a utilizar:
Utilizaremos la propiedad de la Transformada de Laplace para la división por $x$:
$$ \mathcal{L} \left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_{s}^{\infty} F(u) du $$
Donde $F(u)$ es la transformada de $f(t) = \sin(at)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $f(x) = \sin(3x)$. Su transformada de Laplace es:
$$ F(u) = \mathcal{L}\{\sin(3x)\} = \frac{3}{u^2 + 3^2} = \frac{3}{u^2 + 9} $$
Aplicando la propiedad de la división por $x$:
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-ux} \frac{\sin(3x)}{x} dx = \int_{u}^{\infty} \frac{3}{z^2 + 9} dz $$
Evaluamos la integral resultante:
$$ \int \frac{3}{z^2 + 9} dz = 3 \cdot \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{z}{3}\right) = \arctan\left(\frac{z}{3}\right) $$
Aplicamos los límites de integración de $u$ a $\infty$:
$$ \left[ \arctan\left(\frac{z}{3}\right) \right]_{u}^{\infty} = \lim_{z \to \infty} \arctan\left(\frac{z}{3}\right) - \arctan\left(\frac{u}{3}\right) $$
$$ = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{u}{3}\right) = \operatorname{arccot}\left(\frac{u}{3}\right) = \arctan\left(\frac{3}{u}\right) $$

4. Resultado final:
Para nuestro problema original, el valor del parámetro es $u = 2$:
$$ I = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) $$
$$ \boxed{\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-2x} \sin(3x)}{x} dx = \arctan \frac{3}{2}} $$