1. Datos y análisis previo:
La integral presenta una combinación de funciones trigonométricas. Una estrategia común en integrales con límites de $0$ a $\pi/2$ que involucran $(\sin x + \cos x)^2$ es transformar el denominador para que aparezca la función $\sec^2 x$ o relacionarla con $\tan x$.

2. Transformación del integrando:
Dividimos el numerador y el denominador por $\cos^2 x$:
$$ \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\cos^2 x}}{\frac{(\sin x + \cos x)^2}{\cos^2 x}} = \frac{\sqrt[3]{\tan x} \cdot \sec^2 x}{\left( \frac{\sin x + \cos x}{\cos x} \right)^2} $$
Simplificando el denominador:
$$ \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} \right)^2 = (\tan x + 1)^2 $$
La integral se convierte en:
$$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\tan x)^{1/3} \sec^2 x}{(\tan x + 1)^2} dx $$

3. Cambio de variable:
Sea $u = \tan x$, entonces $du = \sec^2 x \, dx$.
Cambiamos los límites de integración:

• Si $x = 0 \implies u = \tan(0) = 0$.


• Si $x \to \frac{\pi}{2} \implies u \to \infty$.

La integral ahora es:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{1/3}}{(u + 1)^2} du $$

4. Uso de la Función Beta:
Recordamos la relación de la función Beta con integrales impropias:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{(1+t)^{z+w}} dt = B(z, w) $$
En nuestro caso, $z-1 = 1/3 \implies z = 4/3$.
Además, $z+w = 2 \implies 4/3 + w = 2 \implies w = 2/3$.
Por lo tanto:
$$ I = B\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right) = \frac{\Gamma(\frac{4}{3})\Gamma(\frac{2}{3})}{\Gamma(\frac{4}{3} + \frac{2}{3})} = \frac{\Gamma(\frac{4}{3})\Gamma(\frac{2}{3})}{\Gamma(2)} $$
Como $\Gamma(2) = 1! = 1$ y $\Gamma(\frac{4}{3}) = \frac{1}{3}\Gamma(\frac{1}{3})$, tenemos:
$$ I = \frac{1}{3} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{2}{3}\right) $$
Usando la fórmula de reflexión de Euler $\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}$ con $s = 1/3$:
$$ I = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} $$
Racionalizando:
$$ I = \frac{2\pi \sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}\pi}{9} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}} $$