1. Identificación de las funciones:
Sea la integral $I = \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} g(x) dx$, donde definimos:
$$ f(x) = (1 - x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} \quad \text{y} \quad g(x) = (1 - x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} $$

2. Análisis de la relación entre $f(x)$ y $g(x)$:
Observemos que si definimos una función $y = (1 - x^n)^{\frac{1}{n}}$, su función inversa se halla despejando $x$:
$$ \begin{aligned} y^n &= 1 - x^n \\ x^n &= 1 - y^n \\ x &= (1 - y^n)^{\frac{1}{n}} \end{aligned} $$
Esto indica que la función es su propia inversa (funci\'on involutiva). En nuestro caso, notemos que $g(x)$ es la función inversa de $f(x)$ en el intervalo $[0,1]$.
Si $y = f(x) = (1 - x^{3/2})^{2/3}$, entonces:
$$ \begin{aligned} y^{3/2} &= 1 - x^{3/2} \\ x^{3/2} &= 1 - y^{3/2} \\ x &= (1 - y^{3/2})^{2/3} = f(y) \end{aligned} $$
Por lo tanto, la gráfica de $f(x)$ es simétrica respecto a la recta $y=x$.

3. Propiedad de la integral de la función inversa:
Para funciones continuas y monótonas en $[0,1]$ donde $f(0)=1$ y $f(1)=0$, se cumple que:
$$ \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} f^{-1}(x) dx $$
Dado que $g(x) = f^{-1}(x)$, tenemos que $\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} g(x) dx$.

4. Conclusión:
Sustituyendo en la integral original:
$$ I = \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} f(x) dx = 0 $$
$$ \boxed{0} $$