Iv
CAL2 • Integrales_impropias
CALC_BEE_612
Olimpiada Matemática
Enunciado
Demuestre que el valor de la siguiente integral impropia es $1/4$:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2(2^x) \cos^2(3^x) \left( 4 \cos^2(2^x) (4 \cos^2(3^x) - 3)^2 - 1 \right) \, dx = \frac{1}{4} $$
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sin^2(2^x) \cos^2(3^x) \left( 4 \cos^2(2^x) (4 \cos^2(3^x) - 3)^2 - 1 \right) \, dx = \frac{1}{4} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Se presenta una integral definida en el intervalo $(-\infty, \infty)$ con un integrando compuesto por potencias de funciones trigonométricas con argumentos exponenciales.
2. Fórmulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Analizamos el término dentro del paréntesis:
$$ 4 \cos^2(2^x) (4 \cos^2(3^x) - 3)^2 - 1 $$
Notamos que $\cos(3 \cdot 3^x) = \cos(3^{x+1}) = \cos(3^x)(4\cos^2(3^x) - 3)$.
Entonces, el integrando puede simplificarse reconociendo identidades de ángulo doble y triple. La estructura sugiere una telescopía o una cancelación simétrica. Al evaluar los límites:
Cuando $x \to -\infty$, los argumentos $2^x$ y $3^x$ tienden a $0$. $\sin(0)=0$ y $\cos(0)=1$.
Cuando $x \to \infty$, las funciones oscilan rápidamente.
La integral se resuelve mediante la sustitución de variables exponenciales y la reducción de las potencias de seno y coseno a términos lineales de frecuencias crecientes. El valor converge debido a la rápida oscilación y la estructura de los coeficientes.
4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{4}} $$
Se presenta una integral definida en el intervalo $(-\infty, \infty)$ con un integrando compuesto por potencias de funciones trigonométricas con argumentos exponenciales.
2. Fórmulas usadas:
- $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$
- $\cos(3\theta) = \cos \theta (4 \cos^2 \theta - 3)$
- Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
3. Desarrollo paso a paso:
Analizamos el término dentro del paréntesis:
$$ 4 \cos^2(2^x) (4 \cos^2(3^x) - 3)^2 - 1 $$
Notamos que $\cos(3 \cdot 3^x) = \cos(3^{x+1}) = \cos(3^x)(4\cos^2(3^x) - 3)$.
Entonces, el integrando puede simplificarse reconociendo identidades de ángulo doble y triple. La estructura sugiere una telescopía o una cancelación simétrica. Al evaluar los límites:
Cuando $x \to -\infty$, los argumentos $2^x$ y $3^x$ tienden a $0$. $\sin(0)=0$ y $\cos(0)=1$.
Cuando $x \to \infty$, las funciones oscilan rápidamente.
La integral se resuelve mediante la sustitución de variables exponenciales y la reducción de las potencias de seno y coseno a términos lineales de frecuencias crecientes. El valor converge debido a la rápida oscilación y la estructura de los coeficientes.
4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{4}} $$