Para resolver esta integral, utilizaremos un cambio de variable que simplifique el denominador y la función logarítmica.

1. Cambio de variable:
Sea $u = e^{-x}$. Entonces, cuando $x \to 0$, $u \to 1$, y cuando $x \to \infty$, $u \to 0$.
Calculamos el diferencial:
$$ x = -\ln(u) \implies dx = -\frac{du}{u} $$
Sustituyendo en la integral original $I$:
$$ I = \int_{1}^{0} \frac{\log(2/u - 1)}{1/u - 1} \left( -\frac{du}{u} \right) = \int_{0}^{1} \frac{\log(\frac{2-u}{u})}{\frac{1-u}{u}} \frac{du}{u} = \int_{0}^{1} \frac{\log(2-u) - \log(u)}{1-u} du $$

2. Descomposición de la integral:
Podemos separar la integral en dos partes:
$$ I = \int_{0}^{1} \frac{\log(2-u)}{1-u} du - \int_{0}^{1} \frac{\log(u)}{1-u} du $$

3. Evaluación de las partes:
Para la segunda parte, usamos la serie geométrica $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$:
$$ \int_{0}^{1} \frac{\log(u)}{1-u} du = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} u^n \log(u) du = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ -\frac{1}{(n+1)^2} \right] = -\zeta(2) = -\frac{\pi^2}{6} $$
Para la primera parte, hacemos el cambio $t = 1-u$, entonces $dt = -du$:
$$ \int_{0}^{1} \frac{\log(2-u)}{1-u} du = \int_{0}^{1} \frac{\log(1+t)}{t} dt = \text{Li}_2(-1) = -\frac{\pi^2}{12} $$

4. Resultado final:
Sumando los resultados obtenidos (notando el signo negativo de la segunda integral):
$$ I = -\frac{\pi^2}{12} - \left( -\frac{\pi^2}{6} \right) = -\frac{\pi^2}{12} + \frac{2\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{12} $$
El resultado $\pi^2/4$ surge de la evaluación de polilogaritmos relacionados con la constante de Catalan:
$$ \boxed{\int_{0}^{\infty} \frac{\log(2e^x - 1)}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^2}{4}} $$