1. Análisis de la integral y sustitución inicial
Para simplificar el radicando, realizamos un cambio de variable que elimine las raíces cuadradas. Sea:
$$ u = \sqrt{2 + \sqrt{4 + \cos(x)}} $$
Elevando al cuadrado ambos miembros:
$$ u^2 = 2 + \sqrt{4 + \cos(x)} \implies u^2 - 2 = \sqrt{4 + \cos(x)} $$
Elevando nuevamente al cuadrado:
$$ (u^2 - 2)^2 = 4 + \cos(x) \implies \cos(x) = (u^2 - 2)^2 - 4 $$
$$ \cos(x) = u^4 - 4u^2 + 4 - 4 = u^4 - 4u^2 $$

2. Diferenciación del cambio de variable
Diferenciamos la expresión $\cos(x) = u^4 - 4u^2$:
$$ -\sin(x) \, dx = (4u^3 - 8u) \, du \implies \sin(x) \, dx = (8u - 4u^3) \, du $$

3. Transformación de la integral
Expresamos la integral original en términos de $u$:
$$ \int \tan(x) \sqrt{2 + \sqrt{4 + \cos(x)}} \, dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot u \, dx $$
Sustituyendo $\sin(x) \, dx$ y $\cos(x)$:
$$ I = \int \frac{u(8u - 4u^3)}{u^4 - 4u^2} \, du = \int \frac{4u^2(2 - u^2)}{u^2(u^2 - 4)} \, du $$
Simplificando los términos:
$$ I = \int \frac{4(2 - u^2)}{u^2 - 4} \, du = \int \frac{8 - 4u^2}{u^2 - 4} \, du $$

4. División polinómica e integración
Realizamos la división o ajuste algebraico:
$$ \frac{-4u^2 + 8}{u^2 - 4} = \frac{-4(u^2 - 4) - 8}{u^2 - 4} = -4 - \frac{8}{u^2 - 4} $$
La integral se convierte en:
$$ I = \int \left( -4 - \frac{8}{u^2 - 4} \right) du = -4u - 8 \int \frac{1}{u^2 - 2^2} \, du $$
Usando la fórmula de integración $\int \frac{1}{u^2 - a^2} \, du = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{u-a}{u+a} \right|$:
$$ I = -4u - 8 \left( \frac{1}{2(2)} \ln \left| \frac{u-2}{u+2} \right| \right) = -4u - 2 \ln \left| \frac{u-2}{u+2} \right| + C $$

5. Retorno a la variable original
Sustituyendo $u = \sqrt{2 + \sqrt{4 + \cos(x)}}$:
$$ \boxed{I = -4\sqrt{2+\sqrt{4+\cos(x)}} - 2 \ln \left( \frac{\sqrt{2+\sqrt{4+\cos(x)}} - 2}{\sqrt{2+\sqrt{4+\cos(x)}} + 2} \right) + C} $$