1. Datos del problema:
Se requiere resolver una integral de la forma $\int (x^2 + a^2)^{-n} dx$. Este tipo de integrales se resuelven eficientemente mediante sustitución trigonométrica.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad pitagórica: $\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$.


• Identidades de reducción de potencia: $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$.


• Relación: $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea la sustitución $x = \tan(\theta)$, entonces $dx = \sec^2(\theta) d\theta$.
Sustituyendo en la integral:
$$ \int \frac{\sec^2(\theta)}{(\tan^2(\theta) + 1)^3} d\theta = \int \frac{\sec^2(\theta)}{(\sec^2(\theta))^3} d\theta = \int \frac{\sec^2(\theta)}{\sec^6(\theta)} d\theta = \int \cos^4(\theta) d\theta $$
Utilizamos la identidad de reducción de potencia para $\cos^2(\theta)$:
$$ \begin{aligned} \int \cos^4(\theta) d\theta &= \int \left( \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \right)^2 d\theta \\ &= \frac{1}{4} \int (1 + 2 \cos(2\theta) + \cos^2(2\theta)) d\theta \\ &= \frac{1}{4} \left( \theta + \sin(2\theta) + \int \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} d\theta \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \theta + \sin(2\theta) + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(4\theta)}{8} \right) + C \\ &= \frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta) + \frac{1}{32}\sin(4\theta) + C \end{aligned} $$
Regresando a la variable $x$:
Sabemos que $\theta = \arctan(x)$. Además, $\sin(2\theta) = \frac{2x}{1+x^2}$ y $\cos(2\theta) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$.
Expandiendo $\sin(4\theta) = 2 \sin(2\theta) \cos(2\theta)$ y simplificando términos algebraicos:
$$ \frac{3}{8}\arctan(x) + \frac{1}{4} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) + \frac{1}{32} \left( 2 \cdot \frac{2x(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \right) $$
Al agrupar y simplificar las fracciones sobre el denominador común $8(x^2+1)^2$:
$$ \boxed{\frac{3}{8} \arctan(x) + \frac{3x^3 + 5x}{8(x^2 + 1)^2} + C} $$