1. Simplificación del integrando:
Podemos reescribir la expresión multiplicando numerador y denominador por $e^{-x}$:
$$ \frac{x(e^{-x} + 1)}{e^x - 1} \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} = \frac{x e^{-x}(e^{-x} + 1)}{1 - e^{-x}} $$
Distribuyendo:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{x e^{-2x}}{1 - e^{-x}} \, dx + \int_{0}^{\infty} \frac{x e^{-x}}{1 - e^{-x}} \, dx $$

2. Uso de series de potencias:
Sabemos que $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$ para $|u| < 1$. Aquí $u = e^{-x}$.
$$ \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x e^{-(n+1)x} \, dx $$
Usando la fórmula $\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a^2}$:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $$
Para el primer término (con $e^{-2x}$), la suma empieza desde $k=2$:
$$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1 $$

3. Suma final:
$$ I = \left( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right) + \frac{\pi^2}{6} = \frac{2\pi^2}{6} - 1 = \frac{\pi^2}{3} - 1 $$

Resultado:
$$ \boxed{\int_{0}^{\infty} \frac{x(e^{-x} + 1)}{e^x - 1} \, dx = \frac{\pi^2}{3} - 1} $$