1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función irracional elevada a una potencia constante $\pi$.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• Identidad de racionalización: $(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x}) = 1$.


• Sustitución para funciones con radicales.


• Regla de la potencia para integración: $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $t = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$. Por la propiedad de racionalización mencionada, sabemos que:
$$ \frac{1}{t} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x} $$
Sumando y restando ambas ecuaciones para despejar $\sqrt{x+1}$ y $\sqrt{x}$:
$$ 2\sqrt{x+1} = \frac{1}{t} + t = \frac{1+t^2}{t} \implies \sqrt{x+1} = \frac{1+t^2}{2t} $$
$$ 2\sqrt{x} = \frac{1}{t} - t = \frac{1-t^2}{t} \implies \sqrt{x} = \frac{1-t^2}{2t} $$
Elevando al cuadrado la expresión de $\sqrt{x}$ para hallar $dx$:
$$ x = \left( \frac{1-t^2}{2t} \right)^2 = \frac{1-2t^2+t^4}{4t^2} = \frac{1}{4}t^{-2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}t^2 $$
Derivando respecto a $t$:
$$ dx = \left( -\frac{1}{2}t^{-3} + \frac{1}{2}t \right) dt = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t^3} \right) dt $$
Sustituyendo en la integral original:
$$ \int t^{\pi} \cdot \frac{1}{2} \left( t - t^{-3} \right) dt = \frac{1}{2} \int (t^{\pi+1} - t^{\pi-3}) \, dt $$
Integrando término a término:
$$ \frac{1}{2} \left( \frac{t^{\pi+2}}{\pi+2} - \frac{t^{\pi-2}}{\pi-2} \right) + C $$
Regresando a la variable original $t = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$:
$$ \boxed{ \frac{1}{2} \left( \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})^{\pi+2}}{\pi+2} - \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})^{\pi-2}}{\pi-2} \right) + C } $$