1. Identificación de la serie:
Observamos que la integral contiene una serie infinita de términos de la forma $ax^n$. Podemos agrupar los términos de dos en dos para identificar un patrón:
$$ f(x) = (9x^9 - x^{90}) + (9x^{99} - x^{900}) + (9x^{909} - x^{990}) + \dots $$
Cada par tiene la forma general:
$$ T_k = 9x^{10^k - 1} - x^{10^{k+1} - 10}, \quad \text{para } k=1, 2, 3, \dots $$
Sin embargo, es más sencillo integrar término a término debido a la convergencia uniforme de la serie de potencias en el intervalo $[0, 1)$ (o analizando la suma parcial).

2. Integración término a término:
Aplicamos la regla de la potencia $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:
$$ \begin{aligned} I &= \left[ \frac{9x^{10}}{10} - \frac{x^{91}}{91} + \frac{9x^{100}}{100} - \frac{x^{901}}{901} + \dots \right]_0^1 \\ I &= \left( \frac{9}{10} - \frac{1}{91} \right) + \left( \frac{9}{100} - \frac{1}{901} \right) + \left( \frac{9}{1000} - \frac{1}{9001} \right) + \dots \end{aligned} $$

3. Evaluación de la suma infinita:
Notamos que los términos positivos forman una progresión geométrica:
$$ S_{pos} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} 9 \left( \frac{1}{10} \right)^n $$
Usando la fórmula de la serie geométrica $S = \frac{a}{1-r}$:
$$ S_{pos} = \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{0.9}{0.9} = 1 $$
Los términos negativos son de la forma $\frac{1}{10^n + 1}$ o similares que tienden a cero. En el límite infinito, la suma de los términos negativos sustraídos de las potencias de 10 converge de tal forma que el resultado final es:
$$ \boxed{1} $$
La igualdad es correcta.