1. Identificación del problema y propiedades:
El problema presenta una integral de la función secante hiperbólica ($\operatorname{sech} u = \frac{2}{e^u + e^{-u}}$) cuyo argumento es una función racional de $x$. Utilizaremos la propiedad de invariancia de integrales bajo ciertas transformaciones de tipo Glasser o sustituciones de conservación de medida.

2. Análisis del argumento:
Sea $g(x) = 2x + 1 - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+1}$. Observamos que la estructura se asemeja a una transformación donde la integral sobre la recta real de una función $f(g(x))$ puede simplificarse si $g(x)$ desplaza la medida de forma adecuada.

Para integrales de la forma $\int_{-\infty}^{\infty} f(x - \sum \frac{a_i}{x - b_i}) dx$, se cumple que el valor es igual a $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ bajo condiciones de convergencia. En este caso, el factor $2x$ requiere un ajuste de variable.

3. Cambio de variable:
Sea $u = 2x + 1 - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+1}$. Debido a la naturaleza de la función y los límites de integración, tras un análisis de la derivada de la sustitución y la preservación de los límites, la integral se reduce a una forma estándar de la integral de la secante hiperbólica.

4. Resolución de la integral simplificada:
La integral resultante tras la transformación (ajustando el factor diferencial $du/2$ debido al término $2x$) es:
$$ I = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}(u) du $$

Sabemos que la primitiva de $\operatorname{sech}(u)$ es $2 \arctan(e^u)$. Evaluando:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}(u) du = \left[ 2 \arctan(e^u) \right]_{-\infty}^{\infty} $$
$$ = 2 \left( \frac{\pi}{2} \right) - 2(0) = \pi $$

5. Resultado final:
Multiplicando por el factor de escala:
$$ I = \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2} $$

$$ \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech} \left( 2x + 1 - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} \right) dx = \frac{\pi}{2}} $$