1. Identificación de la integral y sustitución
La integral presenta una composición de funciones trigonométricas. Observamos que la derivada de $\cot(x)$ es $-\csc^2(x)$, pero tenemos un término $\sec^2(x)$. Intentaremos una sustitución directa para simplificar el argumento del seno.

Sea el cambio de variable:
$$ u = \cot(x) \implies du = -\csc^2(x) dx $$
Para expresar $dx$ en términos de $u$, recordamos que $\csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) = 1 + u^2$. Entonces:
$$ dx = \frac{-du}{1 + u^2} $$

2. Transformación de los términos trigonométricos
Necesitamos expresar $\sec^2(x)$ en términos de $u$. Sabemos que $\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$. Como $u = \cot(x)$, entonces $\tan(x) = 1/u$, por lo tanto:
$$ \sec^2(x) = 1 + \left(\frac{1}{u}\right)^2 = \frac{u^2 + 1}{u^2} $$

3. Cambio de límites de integración

• Si $x \to 0^{+}$, entonces $u = \cot(0^{+}) \to \infty$.


• Si $x \to \pi/2$, entonces $u = \cot(\pi/2) = 0$.

4. Reescritura de la integral
Sustituyendo todos los términos en la integral original $I$:
$$ I = \int_{\infty}^{0} \sin(u^2) \cdot \left(\frac{u^2 + 1}{u^2}\right) \cdot \left(\frac{-du}{u^2 + 1}\right) $$
Simplificando los términos $(u^2 + 1)$ y utilizando el signo negativo para invertir los límites:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u^2)}{u^2} du $$

5. Resolución mediante la integral de Fresnel o reducción
Esta es una forma de la integral de Dirichlet/Fresnel. Haciendo un nuevo cambio $t = u^2 \implies dt = 2u \, du \implies du = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(t)}{t} \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} t^{-3/2} \sin(t) dt $$
Utilizando la transformada de Laplace o propiedades de la función Gamma, se sabe que $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u^2)}{u^2} du$ se relaciona con $\int_{0}^{\infty} \sin(u^2) du$ mediante integración por partes. Sin embargo, el valor estándar para esta integral específica de Fresnel convergente es:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x^2)}{x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}} $$

Resultado final:
$$ \boxed{I = \sqrt{\frac{\pi}{2}}} $$