1. Identificación de componentes:
La integral presenta dos funciones "piso" o parte entera $\lfloor \cdot \rfloor$. Analicemos primero el término interno $k = \lfloor \log_{2} x \rfloor$.
Si $x \in (0, 1]$, entonces $\log_{2} x \leq 0$. Específicamente, para un intervalo de la forma $2^{k} \leq x < 2^{k+1}$ donde $k$ es un entero negativo, se cumple que $\lfloor \log_{2} x \rfloor = k$.

2. Partición del intervalo de integración:
Dividimos el intervalo $(0, 1]$ en subintervalos de la forma $[2^{k}, 2^{k+1})$ para $k = -1, -2, -3, \dots$:
$$ I = \sum_{k=-\infty}^{-1} \int_{2^{k}}^{2^{k+1}} \lfloor \log_{2} (x - 2^{k}) \rfloor dx $$

3. Cambio de variable:
Para cada integral, sea $u = x - 2^{k}$, entonces $du = dx$. Los límites cambian:

• Si $x = 2^{k} \implies u = 0$.


• Si $x = 2^{k+1} \implies u = 2^{k+1} - 2^{k} = 2^{k}(2 - 1) = 2^{k}$.

La integral se convierte en:
$$ \int_{0}^{2^{k}} \lfloor \log_{2} u \rfloor du $$

4. Evaluación de la integral de la parte entera:
La función $\lfloor \log_{2} u \rfloor$ es constante por tramos. Para $u \in (0, 2^{k}]$, los valores de la parte entera van desde $-\infty$ hasta $k-1$.
$$ \int_{0}^{2^{k}} \lfloor \log_{2} u \rfloor du = \sum_{j=-\infty}^{k-1} \int_{2^{j}}^{2^{j+1}} j \, du = \sum_{j=-\infty}^{k-1} j (2^{j+1} - 2^{j}) = \sum_{j=-\infty}^{k-1} j \cdot 2^{j} $$
Esta es una serie aritmético-geométrica cuya suma es $(k-2)2^{k}$.

5. Sumatoria final:
Sumamos los resultados para todos los $k$ desde $-\infty$ hasta $-1$:
$$ \sum_{k=-\infty}^{-1} (k-2)2^{k} = \sum_{n=1}^{\infty} (-n-2)2^{-n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $$
Usando las series conocidas: $\sum \frac{1}{2^n} = 1$ y $\sum \frac{n}{2^n} = 2$:
$$ -2 - 2(1) = -4 $$
$$ \boxed{-4} $$