1. Análisis de la integral:
La integral es impropia tanto en $x=0$ como en $x=1$ debido al logaritmo y a la raíz en el denominador.
Reescribimos el denominador: $\sqrt{x-x^2} = \sqrt{x}\sqrt{1-x}$.

2. Cambio de variable:
Sea $x = \sin^2(\theta)$, entonces $dx = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \, d\theta$.
Límites: Si $x=0 \implies \theta=0$; si $x=1 \implies \theta=\pi/2$.
Sustituyendo:
$$ \int_0^{\pi/2} \frac{\log(\sin^2\theta)}{\sqrt{\sin^2\theta - \sin^4\theta}} 2\sin\theta\cos\theta \, d\theta $$
Simplificando el denominador: $\sqrt{\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)} = \sin\theta\cos\theta$.
$$ I = \int_0^{\pi/2} \frac{2\log(\sin\theta)}{\sin\theta\cos\theta} 2\sin\theta\cos\theta \, d\theta = 4 \int_0^{\pi/2} \log(\sin\theta) \, d\theta $$

3. Uso de integral conocida:
Se sabe que $\int_0^{\pi/2} \log(\sin\theta) \, d\theta = -\frac{\pi}{2} \log(2)$.
Por lo tanto:
$$ I = 4 \left( -\frac{\pi}{2} \log(2) \right) = -2\pi \log(2) $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int_0^1 \frac{\log(x)}{\sqrt{x-x^2}} \, dx = -2\pi \log(2)} $$