1. Identificación de datos y estrategia
El problema presenta una integral que combina un polinomio, una expresión racional y una función exponencial compuesta. La clave reside en observar la derivada del exponente de la función $e^{x + \frac{1}{x}}$.

2. Fórmulas y propiedades a utilizar

• Derivada de una función compuesta: $\frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u'$


• Derivada de $u = x + \frac{1}{x}$: $u' = 1 - \frac{1}{x^2}$


• Regla del producto: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$

3. Desarrollo paso a paso
Primero, reescribimos el integrando expandiendo el producto del polinomio por el término $(x + 1/x)$:
$$ (3x^2 + 7x - 5)(x + x^{-1}) = 3x^3 + 3x + 7x^2 + 7 - 5x - 5x^{-1} $$
$$ = 3x^3 + 7x^2 - 2x + 7 - \frac{5}{x} $$

Un enfoque más directo es usar la estructura $P(x) e^{x + \frac{1}{x}}$. Si derivamos esta expresión:
$$ \frac{d}{dx} \left[ (3x^3 - 2x^2 + 5x) e^{x + \frac{1}{x}} \right] $$
Usando la regla del producto:
$$ = (9x^2 - 4x + 5) e^{x + \frac{1}{x}} + (3x^3 - 2x^2 + 5x) \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) e^{x + \frac{1}{x}} $$
Factorizamos el término exponencial:
$$ = e^{x + \frac{1}{x}} \left[ 9x^2 - 4x + 5 + (3x^3 - 2x^2 + 5x) - \left( \frac{3x^3}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} \right) \right] $$
$$ = e^{x + \frac{1}{x}} \left[ 9x^2 - 4x + 5 + 3x^3 - 2x^2 + 5x - 3x + 2 - \frac{5}{x} \right] $$
$$ = e^{x + \frac{1}{x}} \left[ 3x^3 + 7x^2 - 2x + 7 - \frac{5}{x} \right] $$

Ahora, veamos si el integrando original es equivalente a este resultado:
$$ (3x^2 + 7x - 5) \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \frac{3x^4 + 3x^2 + 7x^3 + 7x - 5x^2 - 5}{x} $$
$$ = \frac{3x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 7x - 5}{x} = 3x^3 + 7x^2 - 2x + 7 - \frac{5}{x} $$

Como la derivada de $(3x^3 - 2x^2 + 5x)e^{x + \frac{1}{x}}$ coincide exactamente con el integrando, la integral es inmediata por antiderivación.

4. Resultado final
$$ \boxed{(3x^3 - 2x^2 + 5x)e^{x + \frac{1}{x}} + C} $$