1. Análisis inicial:
Se presenta un límite donde el parámetro $n$ tiende a infinito tanto en el coeficiente como en el exponente y el argumento de la función seno dentro de la integral. Para resolverlo, realizaremos un cambio de variable que simplifique el exponente de $x$.

2. Cambio de variable:
Sea $u = \frac{1}{x^n}$. Para hallar la equivalencia de $dx$, despejamos $x$:
$$ x = u^{-1/n} \implies dx = -\frac{1}{n} u^{-\frac{1}{n}-1} du $$
Analizamos los límites de integración:

• Si $x \to 0^+$, entonces $u \to \infty$.


• Si $x \to \infty$, entonces $u \to 0^+$.

3. Sustitución en la integral:
Sustituimos los términos en la expresión original:
$$ I_n = n \int_{\infty}^{0} \sin(u) \left( -\frac{1}{n} u^{-1/n - 1} \right) du $$
El signo negativo se utiliza para invertir los límites de integración, y el factor $n$ se simplifica con $1/n$:
$$ I_n = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^{1 + 1/n}} du $$

4. Evaluación del límite:
Ahora aplicamos el límite cuando $n \to \infty$ dentro de la integral (asumiendo la convergencia bajo el teorema de convergencia dominada o analizando la continuidad del exponente):
$$ \lim_{n \to \infty} I_n = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^{1 + 0}} du = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u} du $$

5. Integral de Dirichlet:
La integral resultante es una integral impropia clásica conocida como la integral de Dirichlet, cuyo valor es:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u} du = \frac{\pi}{2} $$

Por lo tanto, se verifica que:
$$ \boxed{\lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{\infty} \sin \left( \frac{1}{x^n} \right) dx = \frac{\pi}{2}} $$