1. Identificación de la propiedad:
Para resolver integrales de la forma $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}} dx$, utilizamos la relación con la Función Beta ($\text{B}(m, n)$), la cual se define como:
$$ \text{B}(m, n) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{m-1}}{(1+t)^{m+n}} dt = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} $$
Donde $\Gamma(n)$ es la función Gamma, que para números enteros cumple $\Gamma(n) = (n-1)!$.

2. Determinación de parámetros:
Comparando la integral del problema con la definición:
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{1010}}{(1 + x)^{2022}} dx $$
Tenemos:

• $m - 1 = 1010 \implies m = 1011$
• $m + n = 2022 \implies 1011 + n = 2022 \implies n = 1011$

3. Sustitución en la fórmula de la Función Beta:
$$ I = \text{B}(1011, 1011) = \frac{\Gamma(1011)\Gamma(1011)}{\Gamma(1011+1011)} $$
Aplicando la propiedad de la función Gamma para enteros $\Gamma(k) = (k-1)!$:
$$ I = \frac{(1011-1)! \cdot (1011-1)!}{(2022-1)!} = \frac{1010! \cdot 1010!}{2021!} $$

4. Resultado final:
Simplificando la expresión obtenemos:
$$ \boxed{\frac{1010!^2}{2021!}} $$