Iv
CAL2 • Integrales_impropias
CALC_BEE_548
Examen de Cálculo II
Enunciado
Demuestre la veracidad de la siguiente igualdad integral:
$$ \int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}^{2}(x + \tan(x)) \, dx = 1 $$
$$ \int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}^{2}(x + \tan(x)) \, dx = 1 $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema y análisis inicial
Se nos presenta una integral impropia cuyo integrando contiene la función secante hiperbólica al cuadrado, evaluada en un argumento compuesto $u(x) = x + \tan(x)$.
2. Propiedades y fórmulas a utilizar
3. Desarrollo paso a paso
Para resolver esta integral, consideremos el comportamiento de la función $f(x) = x + \tan(x)$. Notamos que esta función mapea cada intervalo de la forma $(n\pi - \pi/2, n\pi + \pi/2)$ a la recta real completa $(-\infty, \infty)$.
Debido a la estructura de la función, podemos aplicar una técnica de reducción basada en la periodicidad de la tangente. Sin embargo, un enfoque directo mediante el teorema maestro de Glasser simplifica el proceso. Para una función $f(x)$ integrada en el intervalo real, si tenemos una estructura de la forma $x - \sum \frac{a_i}{x - b_i}$, la integral se conserva.
En este caso, la integral sobre el semi-eje positivo de $\operatorname{sech}^2(x + \tan x)$ equivale a la integral de la función base $\operatorname{sech}^2(u)$ sobre el mismo dominio efectivo debido a que la perturbación $\tan(x)$ no cambia el valor neto del área bajo la curva de una función par como $\operatorname{sech}^2(u)$.
Por lo tanto, la integral se simplifica a:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}^2(u) \, du $$
Calculamos la primitiva:
$$ I = \left[ \tanh(u) \right]_{0}^{\infty} $$
Evaluamos los límites:
$$ I = \lim_{u \to \infty} \tanh(u) - \tanh(0) $$
Dado que $\lim_{u \to \infty} \tanh(u) = 1$ y $\tanh(0) = 0$:
$$ I = 1 - 0 = 1 $$
4. Conclusión
Se verifica que el desplazamiento provocado por la función tangente no altera el valor de la integral de la función secante hiperbólica al cuadrado en el intervalo infinito.
$$ \boxed{1} $$
Se nos presenta una integral impropia cuyo integrando contiene la función secante hiperbólica al cuadrado, evaluada en un argumento compuesto $u(x) = x + \tan(x)$.
2. Propiedades y fórmulas a utilizar
- Derivada de la suma: $\frac{d}{dx}(x + \tan(x)) = 1 + \sec^2(x)$.
- Identidad fundamental de la integral de la secante hiperbólica: $\int \operatorname{sech}^2(u) \, du = \tanh(u) + C$.
- Propiedad de invarianza de integrales de funciones periódicas sobre el eje real (Glasser's Master Theorem o análisis de sustitución por periodos).
3. Desarrollo paso a paso
Para resolver esta integral, consideremos el comportamiento de la función $f(x) = x + \tan(x)$. Notamos que esta función mapea cada intervalo de la forma $(n\pi - \pi/2, n\pi + \pi/2)$ a la recta real completa $(-\infty, \infty)$.
Debido a la estructura de la función, podemos aplicar una técnica de reducción basada en la periodicidad de la tangente. Sin embargo, un enfoque directo mediante el teorema maestro de Glasser simplifica el proceso. Para una función $f(x)$ integrada en el intervalo real, si tenemos una estructura de la forma $x - \sum \frac{a_i}{x - b_i}$, la integral se conserva.
En este caso, la integral sobre el semi-eje positivo de $\operatorname{sech}^2(x + \tan x)$ equivale a la integral de la función base $\operatorname{sech}^2(u)$ sobre el mismo dominio efectivo debido a que la perturbación $\tan(x)$ no cambia el valor neto del área bajo la curva de una función par como $\operatorname{sech}^2(u)$.
Por lo tanto, la integral se simplifica a:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}^2(u) \, du $$
Calculamos la primitiva:
$$ I = \left[ \tanh(u) \right]_{0}^{\infty} $$
Evaluamos los límites:
$$ I = \lim_{u \to \infty} \tanh(u) - \tanh(0) $$
Dado que $\lim_{u \to \infty} \tanh(u) = 1$ y $\tanh(0) = 0$:
$$ I = 1 - 0 = 1 $$
4. Conclusión
Se verifica que el desplazamiento provocado por la función tangente no altera el valor de la integral de la función secante hiperbólica al cuadrado en el intervalo infinito.
$$ \boxed{1} $$