1. Identificación de datos y estrategia:
Se presenta una integral con una función racional multiplicada por una potencia fraccionaria en el denominador. La estructura del resultado sugiere realizar una sustitución que simplifique el término $x^{1/3}$ o el denominador $(1+x)$.

2. Ejecución del cambio de variable:
Sea la sustitución:
$$ u = x^{1/3} \implies x = u^3 $$
Derivando con respecto a $u$:
$$ dx = 3u^2 du $$
Sustituyendo en la integral original:
$$ I = \int \frac{1 - 2(u^3)}{(1 + u^3)^2 (u^3)^{2/3}} (3u^2 du) = \int \frac{1 - 2u^3}{(1 + u^3)^2 u^2} (3u^2 du) $$
Simplificando los términos $u^2$:
$$ I = 3 \int \frac{1 - 2u^3}{(1 + u^3)^2} du $$

3. Descomposición y simplificación:
Podemos reescribir el numerador para facilitar la integración:
$$ 1 - 2u^3 = (1 + u^3) - 3u^3 $$
Sustituyendo esto en la integral:
$$ I = 3 \int \left( \frac{1 + u^3}{(1 + u^3)^2} - \frac{3u^3}{(1 + u^3)^2} \right) du = 3 \int \frac{1}{1 + u^3} du - 9 \int \frac{u^3}{(1 + u^3)^2} du $$
Sin embargo, es más eficiente observar que la expresión es la derivada de un cociente. Si proponemos la forma $f(u) = \frac{3u}{1+u^3}$:
$$ \frac{d}{du} \left( \frac{3u}{1+u^3} \right) = \frac{3(1+u^3) - (3u)(3u^2)}{(1+u^3)^2} = \frac{3 + 3u^3 - 9u^3}{(1+u^3)^2} = \frac{3(1 - 2u^3)}{(1+u^3)^2} $$
Esta es exactamente la expresión simplificada obtenida en el paso anterior.

4. Resultado final:
Integrando la derivada encontrada:
$$ I = \frac{3u}{1+u^3} + C $$
Regresando a la variable original $x$ (donde $u = x^{1/3}$ y $u^3 = x$):
$$ \boxed{I = \frac{3x^{1/3}}{1 + x} + C} $$
Se verifica que el resultado coincide con el planteamiento.