1. Datos y fórmulas:
Utilizaremos la descomposición en fracciones o simplificación algebraica. Notamos que:
$$ \frac{\sin x}{1 + \sin x} = 1 - \frac{1}{1 + \sin x}, \quad \frac{\cos x}{1 + \cos x} = 1 - \frac{1}{1 + \cos x} $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sea $f(x) = \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin x)(1 + \cos x)}$. Podemos usar una identidad para simplificar la expresión:
Notemos que $\frac{d}{dx} \ln(1+\sin x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ y $\frac{d}{dx} \ln(1+\cos x) = \frac{-\sin x}{1+\cos x}$.

Intentemos expresar la función mediante una suma conveniente:
$$ \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin x)(1 + \cos x)} = 1 - \frac{\cos x}{1 + \cos x} - \frac{\sin x}{1 + \sin x} + \frac{1}{(1+\sin x)(1+\cos x)} $$
Esta ruta es compleja. Probemos derivando el resultado propuesto $F(x) = x + \ln(1+\cos x) - \ln(1+\sin x)$:
$$ \begin{aligned} F'(x) &= 1 + \frac{-\sin x}{1 + \cos x} - \frac{\cos x}{1 + \sin x} \\ F'(x) &= \frac{(1+\cos x)(1+\sin x) - \sin x(1+\sin x) - \cos x(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\sin x)} \\ F'(x) &= \frac{1 + \sin x + \cos x + \sin x \cos x - \sin x - \sin^2 x - \cos x - \cos^2 x}{(1+\cos x)(1+\sin x)} \\ F'(x) &= \frac{1 + \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1+\cos x)(1+\sin x)} \\ F'(x) &= \frac{1 + \sin x \cos x - 1}{(1+\cos x)(1+\sin x)} = \frac{\sin x \cos x}{(1 + \sin x)(1 + \cos x)} \end{aligned} $$

3. Conclusión:
Dado que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo, la igualdad queda demostrada.

Resultado:
$$ \boxed{x + \ln \left( \frac{1 + \cos x}{1 + \sin x} \right) + C} $$