1. Datos y análisis previo
Se presenta una integral impropia en el intervalo $[0, \infty)$. La función integrando contiene un término logarítmico al cuadrado en el denominador acompañado de $\pi^2$. Este tipo de integrales suelen resolverse mediante sustitución o mediante el uso de la variable compleja.

2. Desarrollo paso a paso
Realizamos el cambio de variable para simplificar el logaritmo:
Sea $t = \log(x)$, entonces:

• $x = e^t$
• $dx = e^t dt$
• Cuando $x \to 0$, $t \to -\infty$
• Cuando $x \to \infty$, $t \to \infty$

Sustituyendo en la integral original $I$:
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^t dt}{(e^t + 1)(t^2 + \pi^2)} $$

Observamos que el denominador tiene ceros en $t = \pm i\pi$. Para resolver esta integral, podemos utilizar la identidad de la función logística o descomposición. Sin embargo, una propiedad útil para este tipo de estructuras es notar la simetría o aplicar el teorema de los residuos en el plano complejo.

Consideremos la función $f(z) = \frac{e^z}{(e^z + 1)(z^2 + \pi^2)}$.
Notamos que $z = i\pi$ es un punto donde tanto $e^z+1$ como $z^2+\pi^2$ se anulan. Específicamente, $e^{i\pi} + 1 = 0$ y $(i\pi)^2 + \pi^2 = 0$. Esto indica que $z = i\pi$ es un polo de orden 2 (o analizable mediante límites).

Otra forma simplificada es notar que:
$$ \frac{e^t}{e^t + 1} = \frac{1}{1 + e^{-t}} $$
La integral se convierte en:
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1 + e^{-t})(t^2 + \pi^2)} dt $$

Usando la propiedad de reflexión $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = \int_{0}^{\infty} [f(t) + f(-t)] dt$:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{(1 + e^{-t})(t^2 + \pi^2)} + \frac{1}{(1 + e^{t})(t^2 + \pi^2)} \right) dt $$
Factorizando el denominador común $(t^2 + \pi^2)$:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^2 + \pi^2} \left( \frac{1}{1 + e^{-t}} + \frac{1}{1 + e^{t}} \right) dt $$
Simplificando el término entre paréntesis:
$$ \frac{1}{1 + e^{-t}} + \frac{1}{1 + e^t} = \frac{e^t}{e^t + 1} + \frac{1}{e^t + 1} = \frac{e^t + 1}{e^t + 1} = 1 $$
Entonces la integral se reduce a:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + \pi^2} $$

3. Cálculo de la integral resultante
Aplicamos la fórmula de la integral inmediata $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a})$:
$$ I = \left[ \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{t}{\pi}\right) \right]_{0}^{\infty} $$
Evaluando los límites:
$$ I = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{1}{2} $$

4. Resultado final
$$ \boxed{\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1) (\log^2(x) + \pi^2)} = \frac{1}{2}} $$