1. Datos y propiedades:
Para resolver esta integral, utilizaremos el cambio de base de logaritmos y el método de integración por partes.

• Cambio de base: $\log_{b}(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}$
• Integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

2. Transformación de la función:
Cambiamos la base del logaritmo a logaritmo natural:
$$ \log_{2024}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2024)} $$
La integral queda como:
$$ I = \frac{1}{\ln(2024)} \int_{0}^{2024} x^{2024} \ln(x) \, dx $$

3. Integración por partes:
Definimos:
\begin{align*} u &= \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx \\ dv &= x^{2024} dx \implies v = \frac{x^{2025}}{2025} \end{align*}
Aplicando la fórmula:
$$ \int x^{2024} \ln(x) \, dx = \frac{x^{2025} \ln(x)}{2025} - \int \frac{x^{2025}}{2025} \cdot \frac{1}{x} \, dx $$
$$ \int x^{2024} \ln(x) \, dx = \frac{x^{2025} \ln(x)}{2025} - \frac{1}{2025} \int x^{2024} \, dx $$
$$ \int x^{2024} \ln(x) \, dx = \frac{x^{2025} \ln(x)}{2025} - \frac{x^{2025}}{2025^2} $$

4. Evaluación de límites:
Evaluamos de $0$ a $2024$:
$$ I = \frac{1}{\ln(2024)} \left[ \frac{x^{2025} \ln(x)}{2025} - \frac{x^{2025}}{2025^2} \right]_{0}^{2024} $$
Para el límite inferior $x \to 0$, aplicamos L'Hôpital para demostrar que $x^{2025} \ln(x) \to 0$. Evaluando en $2024$:
$$ I = \frac{1}{\ln(2024)} \left( \frac{2024^{2025} \ln(2024)}{2025} - \frac{2024^{2025}}{2025^2} \right) $$
Distribuyendo el término constante:
$$ I = \frac{2024^{2025}}{2025} - \frac{2024^{2025}}{2025^2 \ln(2024)} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{2024^{2025}}{2025} - \frac{2024^{2025}}{2025^2 \ln(2024)}} $$