1. Identificación de la integral y método:
La integral presenta una indeterminación en los límites $x=0$ y $x=1$ debido a la raíz cuadrada en el denominador. Podemos resolverla mediante una sustitución trigonométrica adecuada para simplificar el término $\sqrt{x(1-x)}$.

2. Sustitución:
Sea $x = \sin^2 \theta$, entonces:

• $dx = 2\sin \theta \cos \theta d\theta$
• Si $x=0 \implies \theta=0$
• Si $x=1 \implies \theta=\frac{\pi}{2}$

Sustituyendo el término del denominador:
$$ \sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\sin^2 \theta (1-\sin^2 \theta)} = \sqrt{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \sin \theta \cos \theta $$

3. Desarrollo de la integral:
Reemplazamos todos los términos en la integral original:
$$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{(\sin^2 \theta)^2}{\sin \theta \cos \theta} (2\sin \theta \cos \theta) d\theta $$
Simplificando los términos $\sin \theta \cos \theta$:
$$ I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta d\theta $$

Utilizando la fórmula de reducción para potencias de seno o identidades de ángulo doble:
$$ \sin^4 \theta = \left( \frac{1-\cos(2\theta)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} (1 - 2\cos(2\theta) + \cos^2(2\theta)) $$
$$ \sin^4 \theta = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos(2\theta) + \frac{1+\cos(4\theta)}{2} \right) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta) $$

4. Integración y evaluación:
$$ I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{1}{8}\cos(4\theta) \right) d\theta $$
$$ I = 2 \left[ \frac{3}{8}\theta - \frac{1}{4}\sin(2\theta) + \frac{1}{32}\sin(4\theta) \right]_{0}^{\pi/2} $$
Evaluando en los límites:
$$ I = 2 \left( \frac{3\pi}{16} - 0 + 0 \right) - 2(0) = \frac{3\pi}{8} $$

Resultado:
Se verifica la igualdad planteada:
$$ \boxed{\frac{3\pi}{8}} $$