1. Análisis del integrando:
Observamos que el polinomio dentro de la raíz cúbica puede ser factorizado. Buscamos las raíces de $P(x) = x^3 - 3x - 2$ mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini. Probando con $x = -1$:
$$ (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 $$
Esto indica que $(x+1)$ es un factor. Realizando la división sintética, obtenemos:
$$ x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2) $$
Por lo tanto, la integral se reescribe como:
$$ I = \int \frac{x}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)}} \, dx $$

2. Transformación de la integral:
Para simplificar la raíz cúbica, multiplicamos y dividimos dentro de la raíz por $(x-2)^2$:
$$ I = \int \frac{x}{\sqrt[3]{\frac{(x+1)^2}{(x-2)^2} \cdot (x-2)^3}} \, dx = \int \frac{x}{(x-2) \sqrt[3]{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2}} \, dx $$

3. Cambio de variable:
Sea $u = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-2}}$. Entonces $u^3 = \frac{x+1}{x-2}$.
Despejamos $x$:
$$ u^3(x-2) = x+1 \implies x(u^3-1) = 2u^3+1 \implies x = \frac{2u^3+1}{u^3-1} $$
Diferenciando $x$:
$$ dx = \frac{6u^2(u^3-1) - 3u^2(2u^3+1)}{(u^3-1)^2} \, du = \frac{-9u^2}{(u^3-1)^2} \, du $$
También necesitamos la expresión para $\frac{x}{x-2}$:
$$ x-2 = \frac{2u^3+1}{u^3-1} - 2 = \frac{3}{u^3-1} \implies \frac{1}{x-2} = \frac{u^3-1}{3} $$

4. Sustitución y simplificación:
Sustituyendo todo en la integral:
$$ I = \int \left( \frac{2u^3+1}{u^3-1} \right) \left( \frac{u^3-1}{3} \right) \left( \frac{1}{u^2} \right) \left( \frac{-9u^2}{(u^3-1)^2} \right) \, du $$
Simplificando los términos:
$$ I = \int \frac{-3(2u^3+1)}{(u^3-1)^2} \, du $$
Esta integral se resuelve mediante fracciones parciales o reconociendo la derivada de una función racional. Tras integrar y volver a la variable original $x$, el resultado simplificado coincide con la forma dada:
$$ \boxed{\sqrt[3]{(x+1)(x-2)^2} + C} $$