1. Datos y simplificación mediante cambio de variable
Observamos que el intervalo de integración es $[-2024, 2026]$. El punto medio de este intervalo es:
$$ x_0 = \frac{-2024 + 2026}{2} = 1 $$
Realizamos un cambio de variable para centrar la integral en el origen:
Sea $u = x - 1$, entonces $dx = du$.
Los nuevos límites de integración son:

• Si $x = -2024 \implies u = -2025$


• Si $x = 2026 \implies u = 2025$

Sustituyendo en la integral original (donde $x = u + 1$):
$$ I = \int_{-2025}^{2025} (u + 1) \left( 1 + \cos \left( \frac{u}{2025} \pi \right) \right) \, du $$

2. Expansión de la expresión
Distribuyendo los términos dentro del integrando:
$$ I = \int_{-2025}^{2025} \left[ u + u \cos \left( \frac{u \pi}{2025} \right) + 1 + \cos \left( \frac{u \pi}{2025} \right) \right] \, du $$

3. Análisis de paridad (Simetría)
Recordemos que para una integral en un intervalo simétrico $[-a, a]$:

• Si $f(u)$ es impar, $\int_{-a}^{a} f(u) \, du = 0$.


• Si $f(u)$ es par, $\int_{-a}^{a} f(u) \, du = 2 \int_{0}^{a} f(u) \, du$.

Analizamos cada término:

• $f_1(u) = u$ es impar $\implies \int_{-2025}^{2025} u \, du = 0$.


• $f_2(u) = u \cos \left( \frac{u \pi}{2025} \right)$ es impar (producto de impar por par) $\implies \int_{-2025}^{2025} f_2(u) \, du = 0$.


• $f_3(u) = 1$ es par.


• $f_4(u) = \cos \left( \frac{u \pi}{2025} \right)$ es par.

Por lo tanto, la integral se reduce a:
$$ I = \int_{-2025}^{2025} \left( 1 + \cos \left( \frac{u \pi}{2025} \right) \right) \, du $$

4. Integración directa
$$ \begin{aligned} I &= \left[ u + \frac{2025}{\pi} \sin \left( \frac{u \pi}{2025} \right) \right]_{-2025}^{2025} \\ I &= \left( 2025 + \frac{2025}{\pi} \sin(\pi) \right) - \left( -2025 + \frac{2025}{\pi} \sin(-\pi) \right) \end{aligned} $$
Como $\sin(\pi) = 0$ y $\sin(-\pi) = 0$:
$$ I = 2025 - (-2025) = 4050 $$

Resultado final:
$$ \boxed{4050} $$