1. Datos del problema:
Se presenta una integral impropia de primera especie del tipo $\int_{a}^{\infty} f(x) \, dx$. La función integrando es el producto de una potencia y una exponencial decreciente, lo cual sugiere el uso de la función Gamma o integración por partes sucesiva.

2. Fórmulas y propiedades:
Recordamos la definición de la función Gamma:
$$ \Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} \, dt = (n-1)! $$
Dado que el límite inferior es $1$ y no $0$, utilizaremos la integración por partes o la evaluación de la primitiva. La integral indefinida de la forma $\int x^n e^{-x} \, dx$ es:
$$ \int x^n e^{-x} \, dx = -e^{-x} \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} x^k + C $$

3. Desarrollo paso a paso:
Evaluamos la integral definida en el intervalo $[1, \infty)$:
$$ I = \lim_{b \to \infty} \left[ -e^{-x} (x^5 + 5x^4 + 20x^3 + 60x^2 + 120x + 120) \right]_{1}^{b} $$

Evaluando en el límite superior $b$:
$$ \lim_{b \to \infty} \frac{-(b^5 + 5b^4 + 20b^3 + 60b^2 + 120b + 120)}{e^b} = 0 $$
(Debido a que la función exponencial crece más rápido que cualquier polinomio, aplicando la regla de L'Hôpital repetidas veces).

Evaluando en el límite inferior $x=1$:
$$ - \left( -e^{-1} (1^5 + 5(1)^4 + 20(1)^3 + 60(1)^2 + 120(1) + 120) \right) $$
$$ I = \frac{1}{e} (1 + 5 + 20 + 60 + 120 + 120) $$
$$ I = \frac{326}{e} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int_{1}^{\infty} x^{5}e^{-x} \, dx = \frac{326}{e}} $$