1. Datos y estrategia:
Se presenta una integral que combina una función algebraica $x^2$ con una función trigonométrica cuyo argumento es un logaritmo natural ($\log x$ o $\ln x$). Utilizaremos el método de integración por partes y una sustitución previa para simplificar el argumento.

2. Sustitución inicial:
Sea $u = \log x$, entonces $x = e^u$. Derivando respecto a $u$:
$dx = e^u \, du$.

Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int (e^u)^2 \sin(u) e^u \, du = \int e^{2u} \sin(u) e^u \, du = \int e^{3u} \sin(u) \, du $$

3. Integración por partes:
Usamos la fórmula $\int f \, dg = fg - \int g \, df$.
Para $I = \int e^{3u} \sin(u) \, du$:
Sea $f = \sin(u) \implies df = \cos(u) \, du$
Sea $dg = e^{3u} \, du \implies g = \frac{1}{3} e^{3u}$

$$ I = \frac{1}{3} e^{3u} \sin(u) - \frac{1}{3} \int e^{3u} \cos(u) \, du $$

Aplicamos partes nuevamente a la nueva integral:
Sea $f = \cos(u) \implies df = -\sin(u) \, du$
Sea $dg = e^{3u} \, du \implies g = \frac{1}{3} e^{3u}$

$$ I = \frac{1}{3} e^{3u} \sin(u) - \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3} e^{3u} \cos(u) - \int \frac{1}{3} e^{3u} (-\sin(u)) \, du \right] $$
$$ I = \frac{1}{3} e^{3u} \sin(u) - \frac{1}{9} e^{3u} \cos(u) - \frac{1}{9} \int e^{3u} \sin(u) \, du $$

Notamos que la integral original $I$ ha reaparecido:
$$ I = \frac{e^{3u}}{9} (3 \sin(u) - \cos(u)) - \frac{1}{9} I $$
$$ I + \frac{1}{9} I = \frac{e^{3u}}{9} (3 \sin(u) - \cos(u)) $$
$$ \frac{10}{9} I = \frac{e^{3u}}{9} (3 \sin(u) - \cos(u)) $$
$$ I = \frac{e^{3u}}{10} (3 \sin(u) - \cos(u)) $$

4. Retorno a la variable original:
Recordando que $u = \log x$ y $e^{3u} = (e^u)^3 = x^3$:
$$ \boxed{\int x^2 \sin(\log x) \, dx = \frac{x^3}{10} (3 \sin(\log x) - \cos(\log x)) + C} $$