1. Datos y análisis previo:
La integral presenta una indeterminación en los límites de integración debido al término $\log(1/x)$ y la división por $x$. Utilizaremos el cambio de variable para transformar la integral en una forma conocida (Función Gamma).

2. Propiedades y fórmulas usadas:

• Propiedad de logaritmos: $\log(1/x) = -\log(x)$.


• Definición de la Función Gamma: $\Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} \, dt$.


• Valor notable: $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1}{x} \log \frac{1}{x}} \, dx$. Aplicamos el cambio de variable:
$$ u = \log \frac{1}{x} \implies u = -\log x \implies x = e^{-u} $$
Diferenciando ambos lados:
$$ dx = -e^{-u} \, du $$
Cambiando los límites de integración:

• Si $x \to 0^+$, entonces $u \to \infty$.


• Si $x \to 1^-$, entonces $u \to 0$.

Sustituyendo en la integral:
$$ \begin{aligned} I &= \int_{\infty}^{0} \sqrt{\frac{1}{e^{-u}} \cdot u} \, (-e^{-u} \, du) \\ I &= \int_{0}^{\infty} \sqrt{e^u \cdot u} \cdot e^{-u} \, du \\ I &= \int_{0}^{\infty} e^{u/2} \cdot u^{1/2} \cdot e^{-u} \, du \\ I &= \int_{0}^{\infty} u^{1/2} e^{-u/2} \, du \end{aligned} $$
Realizamos un segundo cambio de variable para ajustar a la forma de la Función Gamma. Sea $t = u/2$, entonces $u = 2t$ y $du = 2 \, dt$:
$$ \begin{aligned} I &= \int_{0}^{\infty} (2t)^{1/2} e^{-t} (2 \, dt) \\ I &= 2 \sqrt{2} \int_{0}^{\infty} t^{1/2} e^{-t} \, dt \end{aligned} $$
La integral resultante es $\Gamma(3/2)$, ya que $n-1 = 1/2 \implies n = 3/2$:
$$ I = 2\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) $$
Usando la propiedad $\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$:
$$ I = 2\sqrt{2} \left( \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \right) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\pi} = \sqrt{2\pi} $$

4. Conclusión:
Se demuestra que el valor de la integral es:
$$ \boxed{\sqrt{2\pi}} $$