1. Datos y simplificación:
Observamos que el integrando contiene potencias con diferentes bases. Antes de integrar, simplificamos la expresión usando propiedades de los exponentes:
$3^{2x} = (3^2)^x = 9^x$.
Entonces, la integral se reescribe como:
$$ I = \int 4^x 9^x \, dx = \int (4 \cdot 9)^x \, dx = \int 36^x \, dx $$

2. Fórmulas usadas:
Utilizamos la fórmula de integración para una función exponencial de base $a$:
$$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $$

3. Desarrollo:
Aplicando la fórmula con $a = 36$:
$$ I = \frac{36^x}{\ln 36} + C $$
Descomponiendo $\ln 36$:
$$ \ln 36 = \ln(4 \cdot 9) = \ln 4 + \ln 9 = 2\ln 2 + 2\ln 3 $$
Sin embargo, siguiendo la solución directa y más elegante del integrando simplificado:
$$ \boxed{\int 4^x 3^{2x} \, dx = \frac{36^x}{\ln 36} + C} $$