1. Datos y análisis:
La integral contiene una suma en el numerador y una expresión trigonométrica en el denominador que puede simplificarse mediante identidades de ángulo medio.

2. Fórmulas usadas:

• $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$
• $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
• $\int \sec^2 u \, du = \tan u + C$

3. Desarrollo:
Separamos la integral en dos partes:
$$ I = \int \frac{x}{1 + \cos x} \, dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} \, dx $$
Aplicamos las identidades:
$$ I = \int \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx + \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \, dx $$
$$ I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \, dx + \int \tan \frac{x}{2} \, dx $$
Resolvemos la primera parte por partes ($\int u \, dv = uv - \int v \, du$):
Sea $u = x \implies du = dx$
Sea $dv = \sec^2 \frac{x}{2} \, dx \implies v = 2 \tan \frac{x}{2}$
$$ \frac{1}{2} \left[ 2x \tan \frac{x}{2} - \int 2 \tan \frac{x}{2} \, dx \right] = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \, dx $$
Sumamos la segunda parte de la integral original:
$$ I = \left( x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \, dx \right) + \int \tan \frac{x}{2} \, dx $$
Los términos de la integral de la tangente se cancelan.

4. Resultado:
$$ \boxed{x \tan \frac{x}{2} + C} $$