1. Análisis de la función:
Sea $f(x) = (x - 2)(x - 1)x(x + 1)(x + 2)$. Notamos que los ceros de la función son $x = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$, los cuales coinciden exactamente con los límites de integración.

Podemos simplificar la expresión del polinomio usando productos notables:
$$ f(x) = x(x^2 - 1)(x^2 - 4) = x(x^4 - 5x^2 + 4) = x^5 - 5x^3 + 4x $$

2. Propiedad de simetría:
La función $g(x) = |f(x)|$ es una función par, ya que:
$$ g(-x) = |(-x)^5 - 5(-x)^3 + 4(-x)| = |- (x^5 - 5x^3 + 4x)| = |x^5 - 5x^3 + 4x| = g(x) $$
Debido a esta simetría respecto al eje $y$, la integral se puede simplificar como:
$$ I = 2 \int_{0}^{2} |x^5 - 5x^3 + 4x| \, dx $$

3. Análisis del signo en el intervalo $[0, 2]$:
Evaluamos el signo de $f(x) = x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ en los subintervalos:

• En $[0, 1]$: Tomamos $x=0.5 \implies (+)(-)(+)(-)(+) = (+)$. El valor absoluto es positivo.


• En $[1, 2]$: Tomamos $x=1.5 \implies (+)(+)(+)(-)(+) = (-)$. El valor absoluto cambia el signo.

4. Cálculo de las integrales parciales:
$$ I = 2 \left[ \int_{0}^{1} (x^5 - 5x^3 + 4x) \, dx - \int_{1}^{2} (x^5 - 5x^3 + 4x) \, dx \right] $$
La primitiva es $F(x) = \frac{x^6}{6} - \frac{5x^4}{4} + 2x^2$.

• $F(0) = 0$


• $F(1) = \frac{1}{6} - \frac{5}{4} + 2 = \frac{2 - 15 + 24}{12} = \frac{11}{12}$


• $F(2) = \frac{64}{6} - \frac{5(16)}{4} + 2(4) = \frac{32}{3} - 20 + 8 = \frac{32 - 36}{3} = -\frac{4}{3}$

Sustituyendo:
$$ \begin{aligned} I &= 2 \left[ (F(1) - F(0)) - (F(2) - F(1)) \right] \\ I &= 2 \left[ \frac{11}{12} - \left( -\frac{4}{3} - \frac{11}{12} \right) \right] \\ I &= 2 \left[ \frac{11}{12} + \frac{16}{12} + \frac{11}{12} \right] = 2 \left[ \frac{38}{12} \right] = \frac{38}{6} \end{aligned} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{19}{3}} $$