1. Datos y propiedades:
La función $\lceil f(x) \rceil$ representa el menor entero mayor o igual a $f(x)$. Para resolver integrales con funciones escalonadas, debemos dividir el intervalo de integración en subintervalos donde la función sea constante.

2. Análisis de la función $\lceil \sqrt{x} \rceil$:
Analizamos el comportamiento de $\sqrt{x}$ entre $0$ y $100$. La función cambia de valor entero en los cuadrados perfectos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$.

• Si $x = 0$, $\lceil \sqrt{0} \rceil = 0$.
• Si $0 < x \leq 1$, $0 < \sqrt{x} \leq 1 \Rightarrow \lceil \sqrt{x} \rceil = 1$.
• Si $1 < x \leq 4$, $1 < \sqrt{x} \leq 2 \Rightarrow \lceil \sqrt{x} \rceil = 2$.
• En general, si $(n-1)^2 < x \leq n^2$, entonces $\lceil \sqrt{x} \rceil = n$.

3. Desarrollo paso a paso:
La integral se descompone en la suma de las áreas de rectángulos:
$$ I = \int_{0}^{1} 1 \, dx + \int_{1}^{4} 2 \, dx + \int_{4}^{9} 3 \, dx + \dots + \int_{81}^{100} 10 \, dx $$
Calculando cada término:
$$ I = 1(1-0) + 2(4-1) + 3(9-4) + \dots + n(n^2 - (n-1)^2) $$
El término general es $a_n = n(2n-1) = 2n^2 - n$. Sumamos desde $n=1$ hasta $n=10$:
$$ I = \sum_{n=1}^{10} (2n^2 - n) = 2 \sum_{n=1}^{10} n^2 - \sum_{n=1}^{10} n $$
Usando las fórmulas de sumatorias:
$$ \sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385 $$
$$ \sum n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55 $$
Sustituyendo:
$$ I = 2(385) - 55 = 770 - 55 = 715 $$

Resultado:
$$ \boxed{715} $$