1. Identidad trigonométrica:
Utilizamos la propiedad de la suma de cosenos para el núcleo de Dirichlet simplificado. Sabemos que:
$$ \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)} = 1 + 2\cos(2x) + 2\cos(4x) + \dots + 2\cos(2nx) $$
En este caso, $2n+1 = 23$, lo que implica $2n = 22$ y $n = 11$.

2. Sustitución en la integral:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + 2\sum_{k=1}^{11} \cos(2kx) \right) dx $$

3. Integración término a término:
$$ \begin{aligned} I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + 2 \sum_{k=1}^{11} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2kx) dx \\ I &= [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + 2 \sum_{k=1}^{11} \left[ \frac{\sin(2kx)}{2k} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \end{aligned} $$
Evaluando los límites para la sumatoria:
$\sin(2k \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(k\pi) = 0$ para cualquier entero $k$.
$\sin(0) = 0$.
Por lo tanto, todos los términos de la sumatoria se anulan.

4. Resultado final:
$$ I = \frac{\pi}{2} - 0 + 0 = \frac{\pi}{2} $$
$$ \boxed{\frac{\pi}{2}} $$