1. Identificación de la estructura:
Observamos que la integral tiene la forma $\int \frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2} dx$. Definamos la función:
$$ f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-3)^3} + \frac{1}{(x-5)^5} $$
Calculamos su derivada $f'(x)$:
$$ f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{3}{(x-3)^4} - \frac{5}{(x-5)^6} $$
Notamos que el numerador de la integral original es exactamente $-f'(x)$. Por lo tanto, la integral se puede reescribir como:
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-f'(x)}{1 + [f(x)]^2} dx $$

2. Análisis de los límites y asíntotas:
La función $f(x)$ tiene asíntotas verticales en $x=1, x=3, x=5$. Debido a las potencias impares en los denominadores, en cada asíntota la función tiende a $\pm \infty$. Para resolver esto, dividimos la integral en los intervalos definidos por las singularidades:
$(-\infty, 1), (1, 3), (3, 5), (5, \infty)$.

3. Integración por sustitución:
Sea $u = f(x)$, entonces $du = f'(x) dx$. La primitiva es:
$$ \int \frac{-du}{1+u^2} = -\arctan(u) + C = -\arctan\left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-3)^3} + \frac{1}{(x-5)^5} \right) $$

4. Evaluación por tramos:
Evaluamos los límites de $f(x)$ en cada intervalo:

• Para $x \to -\infty, f(x) \to 0$.
• Para $x \to 1^-, f(x) \to -\infty$.
• Para $x \to 1^+, f(x) \to \infty$.
• Para $x \to 3^-, f(x) \to -\infty$.
• ... y así sucesivamente hasta $x \to \infty, f(x) \to 0$.

Cada uno de los 4 intervalos produce un cambio en el arcotangente de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ (o viceversa considerando el signo negativo). Específicamente, para cada tramo $(a, b)$:
$$ [-\arctan(f(x))]_a^b = -(\arctan(f(b)) - \arctan(f(a))) $$
Sumando los resultados de los 3 saltos de discontinuidad y los límites al infinito, obtenemos:
$$ I = \pi + \pi + \pi = 3\pi $$

Resultado final:
$$ \boxed{3\pi} $$