1. Identificación de datos y fórmulas:
El integrando contiene una función logarítmica compuesta con una trigonométrica. Reescribimos la integral usando la identidad $\frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)$:
$$ I = \int \sec^2(x) \log(\cos(x)) dx $$

Utilizaremos el método de Integración por Partes, cuya fórmula es:
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$

2. Desarrollo paso a paso:
Elegimos las partes de la siguiente manera:
$$ \begin{aligned} u &= \log(\cos(x)) \implies du = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) dx = -\tan(x) dx \\ dv &= \sec^2(x) dx \implies v = \tan(x) \end{aligned} $$

Aplicando la fórmula de integración por partes:
$$ \begin{aligned} I &= \tan(x) \log(\cos(x)) - \int \tan(x) (-\tan(x)) dx \\ I &= \tan(x) \log(\cos(x)) + \int \tan^2(x) dx \end{aligned} $$

Usamos la identidad trigonométrica $\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$:
$$ \begin{aligned} I &= \tan(x) \log(\cos(x)) + \int (\sec^2(x) - 1) dx \\ I &= \tan(x) \log(\cos(x)) + \int \sec^2(x) dx - \int dx \\ I &= \tan(x) \log(\cos(x)) + \tan(x) - x + C \end{aligned} $$

3. Resultado final:
$$ \boxed{\int \frac{\log(\cos(x))}{\cos^2(x)} dx = \tan(x) \log(\cos(x)) + \tan(x) - x + C} $$