1. Identidades trigonométricas:
Usamos $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. El integrando se simplifica:
$$ \frac{2 \sin x \cos x \cos(3x)}{\sin^2 x \cos^3 x} = \frac{2 \cos(3x)}{\sin x \cos^2 x} $$
Usamos $\cos(3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$:
$$ \frac{2(4 \cos^3 x - 3 \cos x)}{\sin x \cos^2 x} = \frac{8 \cos^3 x}{\sin x \cos^2 x} - \frac{6 \cos x}{\sin x \cos^2 x} = 8 \cot x - \frac{6}{\sin x \cos x} $$

2. Transformación para integración:
Sabemos que $\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$.
Entonces la integral queda:
$$ \int (8 \cot x - 6 \frac{\sec^2 x}{\tan x}) dx $$

3. Cálculo de las integrales:

• $\int 8 \cot x dx = 8 \log|\sin x|$
• $\int 6 \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx = 6 \log|\tan x|$ (usando $u = \tan x$)

4. Resultado final:
$$ \boxed{8 \log \sin x - 6 \log \tan x + C} $$