1. Análisis y simplificación del integrando:
Primero, simplificamos la fracción algebraica distribuyendo el denominador $x^4$ en cada término del numerador:
$$ \frac{x^6 + x^4 - x^2 - 1}{x^4} = \frac{x^6}{x^4} + \frac{x^4}{x^4} - \frac{x^2}{x^4} - \frac{1}{x^4} = x^2 + 1 - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4} $$

La integral se reescribe como:
$$ I = \int \left( x^2 + 1 - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4} \right) e^{x + 1/x} \, dx $$

2. Agrupación estratégica:
Notamos que la derivada del exponente $u = x + \frac{1}{x}$ es $du = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. Intentaremos agrupar los términos para aprovechar esta estructura:
$$ I = \int \left[ x^2 \left( 1 - \frac{1}{x^4} \right) + \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) \right] e^{x + 1/x} \, dx $$
Factorizando la diferencia de cuadrados $1 - \frac{1}{x^4} = (1 - \frac{1}{x^2})(1 + \frac{1}{x^2})$:
$$ I = \int \left[ x^2 \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) + \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) \right] e^{x + 1/x} \, dx $$
Factorizando el término común $(1 - \frac{1}{x^2})$:
$$ I = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) \left[ x^2 \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) + 1 \right] e^{x + 1/x} \, dx $$
$$ I = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) (x^2 + 1 + 1) e^{x + 1/x} \, dx = \int (x^2 + 2) \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) e^{x + 1/x} \, dx $$

3. Cambio de variable:
Sea $u = x + \frac{1}{x}$, entonces $du = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
Además, observemos que $u^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, por lo que $x^2 + 2 = u^2 - \frac{1}{x^2}$. Sin embargo, una forma más directa es proponer una solución de la forma $P(x)e^{u}$.
Al derivar $(x^2 - 2x + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})e^{x+1/x}$ obtenemos el integrando original.

4. Resultado final:
Tras aplicar la integración por partes o verificar mediante derivación, el resultado es:
$$ \boxed{\left( x^2 - 2x + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) e^{x + 1/x} + C} $$