1. Análisis de las funciones min y max:
Para resolver la integral, debemos determinar en qué intervalos una función es menor o mayor que la otra dentro del intervalo $[0, 3]$.

• Para $\min(2x, \frac{5-x}{2})$:

Igualamos las funciones: $2x = \frac{5-x}{2} \Rightarrow 4x = 5 - x \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$.

• Si $0 \le x \le 1$, entonces $2x \le \frac{5-x}{2}$, por lo que $\min = 2x$.


• Si $1 \le x \le 3$, entonces $\frac{5-x}{2} \le 2x$, por lo que $\min = \frac{5-x}{2}$.

• Para $\max(-\frac{x}{2}, 2x - 5)$:

Igualamos las funciones: $-\frac{x}{2} = 2x - 5 \Rightarrow -x = 4x - 10 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.

• Si $0 \le x \le 2$, entonces $-\frac{x}{2} \ge 2x - 5$, por lo que $\max = -\frac{x}{2}$.


• Si $2 \le x \le 3$, entonces $2x - 5 \ge -\frac{x}{2}$, por lo que $\max = 2x - 5$.

2. División de la integral:
Debemos dividir el intervalo $[0, 3]$ en los puntos críticos hallados ($x=1$ y $x=2$):

$$ I = \int_{0}^{1} \left( 2x - \left( -\frac{x}{2} \right) \right) dx + \int_{1}^{2} \left( \frac{5-x}{2} - \left( -\frac{x}{2} \right) \right) dx + \int_{2}^{3} \left( \frac{5-x}{2} - (2x-5) \right) dx $$

3. Desarrollo paso a paso:

• Intervalo $[0, 1]$:

$\int_{0}^{1} \frac{5x}{2} dx = \left[ \frac{5x^2}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{5}{4}$

• Intervalo $[1, 2]$:

$\int_{1}^{2} \left( \frac{5}{2} - \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) dx = \int_{1}^{2} \frac{5}{2} dx = \left[ \frac{5x}{2} \right]_{1}^{2} = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$

• Intervalo $[2, 3]$:

$\int_{2}^{3} \left( \frac{5}{2} - \frac{x}{2} - 2x + 5 \right) dx = \int_{2}^{3} \left( \frac{15}{2} - \frac{5x}{2} \right) dx = \left[ \frac{15x}{2} - \frac{5x^2}{4} \right]_{2}^{3}$
$= (\frac{45}{2} - \frac{45}{4}) - (15 - 5) = \frac{45}{4} - 10 = \frac{5}{4}$

4. Suma total:
$I = \frac{5}{4} + \frac{5}{2} + \frac{5}{4} = \frac{5}{4} + \frac{10}{4} + \frac{5}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$$ \boxed{5} $$